Question

【题目】已知椭圆

（1）求椭圆的标准方程和离心率；

（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0

【解析】

（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；

（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．

（1）由，得，进而，；

（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，

可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，

可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①

由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②

将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，

消去y1，可得＝，解得m2＝，所以，

故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．