Question

已知函数的减区间是（-2，2）
（1）试求m,n的值；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程；
（3）过点A(1,t)，是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

⑴m=1，n="0;" ⑵或;⑶存在, .

解析试题分析：（1）由已知函数单调减区间为(-2,2)即为的解集为(-2,2)，利用根与系数的关系求出m与n的值即可；（2）当A为切点时，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，化成一般式即可，当A不为切点时，设切点为P（x₀，），这时切线的斜率是k=，将点A（1，-11）代入得到关于x₀的方程，即可求出切点坐标，最后求出切线方程；（3）存在满足条件的三条切线．设点P（x₀，）是曲线f（x）=x³-12x的切点，写出在P点处的切线的方程为y-=（x-x₀）将点A（1，t）代入，将t分离出来，根据有三条切线，所以方程应有3个实根，设g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲线有3个零点即可．建立不等关系解之即可．
试题解析：⑴由题意知：的解集为（-2，2），所以，-2和2为方程3mx²+4nx-12=0的根，由韦达定理知，解得:m=1，n=0.
⑵∵，∴，∵
当A为切点时，切线的斜率 ，
∴切线为，即；               
当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
切线方程为，即   
因为过点A（1，-11）， ，
∴，
∴或，而为A点，即另一个切点为，
∴，
切线方程为 ，即
所以，过点的切线为或.
⑶ 存在满足条件的三条切线.                           
设点是曲线的切点，
则在P点处的切线的方程为 即
因为其过点A（1，t），所以，，   
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，       
设，只要使曲线有3个零点即可．
设 =0， ∴分别为的极值点，
当时，在和 上单增，
当时，在上单减，
所以，为极大值点，为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得：.
考点：1.导数研究函数的单调性;2.导数研究曲线上某点切线方程.