Question

14．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$ccosB+bsinC．
（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=$\frac{13}{14}$，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC；
（2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$ccosB+bsinC，
∴$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC，
即$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC=sinBsinC，
∴tanC=$\sqrt{3}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-12cosC=7，
∴c=$\sqrt{7}$．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4+7-9}{4\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
∵cos∠BCD=$\frac{13}{14}$，∴sin∠BCD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BCD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{14}×\frac{\sqrt{7}}{14}+\frac{13}{14}×\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的关系，属于中档题．