Question

4．已知lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），则xy的最小值是1，x+y的最小值是2，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2．

Answer 1

分析 先根据对称的运算性质化简得到3xy=x+y+1，再根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵lg（3x）+lgy=lg（3xy）=lg（x+y+1），x＞0，y＞0，
∴3xy=x+y+1，
∴3xy≥3$\root{3}{xy}$，当且仅当x=y=1时取等号，
即xy≥1，
∴xy的最小值是1，
由x+y≥2$\sqrt{xy}$≥2，
∴x+y的最小值是2，
由3xy=x+y+1，得到x+y=3xy-1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{3xy-1}{xy}$=3-$\frac{1}{xy}$≥3-1=2，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2
故答案为：1，2，2．

点评 本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用，是基础题．