Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（3，m），若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标，结合向量的坐标运算公式可得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1，1-m），进而由向量垂直的性质可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2×（-1）+1×（1-m）=0，解可得m的值，即可得$\overrightarrow{b}$的坐标，进而可得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（3，m），则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1，1-m），
若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2×（-1）+1×（1-m）=0，
解可得m=-1，即$\overrightarrow{b}$=（3，-1），
则2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（7，1），
则|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量数量积的运算，关键是利用向量的坐标运算求出$\overrightarrow{b}$的坐标．