Question

6．若a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，则（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项与x最低次幂项的系数比为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． -$\frac{5}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用微积分基本定理的几何意义可得：a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点（0，0）为圆心，1为半径的上半圆的面积，可得a=$\frac{π}{2}$．则（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶=$（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）^{6}$．再利用通项公式即可得出．

解答 解：利用微积分基本定理的几何意义可得：a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点（0，0）为圆心，1为半径的上半圆的面积，因此a=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$．
则（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶=$（\frac{x}{2}-\frac{1}{x}）^{6}$．
T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{x}{2}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r$（\frac{1}{2}）^{6-r}$${∁}_{6}^{r}$x^6-2r．
分别令6-2r=0；6-2r=-6，
解得r=3；r=6．
∴展开式中的常数项为：T₄=$-（\frac{1}{2}）^{3}{∁}_{6}^{3}$=-$\frac{5}{2}$．
x最低次幂项为：T₇=x^-6．
∴则（$\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项与x最低次幂项的系数比为$-\frac{5}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了微积分基本定理的应用、二项式定理的应用，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．