Question

15．已知点F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（1+\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（1，1+\sqrt{2}）$
• C． （2，+∞）
• D． $（2，1+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

解答 解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF
∵∠AEB是钝角，
∴AF＞EF
∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
∴AF=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵EF=a+c
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$＞a+c，即c²-ac-2a²＞0
解得$\frac{c}{a}$＞2或$\frac{c}{a}$＜-1
双曲线的离心率的范围是（2，+∞）
故选：C．

点评 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．