Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n,m∈R ⁺},求不等式cx²+bx+a＜0的解集.

Answer 1

解法一:由韦达定理及其逆定理来构建一个一元二次不等式,通过对比来求解.?

原不等式的解集为{x|m＜x＜n,m∈R⁺}.?

∴可知二次项系数a＜0.再由韦达定理可知,?

m+n=-,m·n=.?

现对cx²+bx+a＜0两边同除以a,可得x²+x+1＞0.?

∴可有mnx²-(m+n)x+1＞0,即有(mx-1)(nx-1)＞0.?

又由已知条件虽然有n＞m＞0,?

∴由不等式性质知0＜＜.?

故cx²+bx+a＜0的解集为{x|x＜或x＞,n＞m＞0}.?

解法二:注意到,若x≠0时,不等式cx²+bx+a＜0可化归为a()²+b()+c＜0.?

再利用换元思想去对比已知条件中不等式ax²+bx+c＞0的解集{x|m＜x＜n,m∈R⁺},来获取不等式cx²+bx+a＜0的解集.?

由解法一可知,a＜0.?

∴x=0是cx²+bx+a＜0的一个解.?

又当x≠0时,x²＞0,现将不等式cx²+bx+a＜0两边同除以x²,得a·()²+b·()+c＜0.(*)?

∵ax²+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n,m∈R⁺},?

∴(*)的解为＞n或＜m.?

又∵n＞m＞0,?

即有x＜或x＞,故不等式cx²+bx+a＜0的解集为{x|x＜或x＞,n＞m＞0}.