Question

8．如图，在△ABC中，G为重心，I为内心．若GI∥BC，证明：AB，BC，CA三边长成等差数列．

Answer 1

分析 法一：首先连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线．根据三角形重心的性质及GI∥BC可得到$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$=2．在△CAE中，利用相似三角形的性质定理易得到$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，即AC=2CE．同理AB=2BE．从而能证明AB，BC，CA三边长成等差数列．
法二：（利用面积公式），首先连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径．根据三角形重心的性质及相似三角形的性质能够证明AB，BC，CA三边长成等差数列．

解答 证法一：连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，
则AD为中线，AE、CI为角平分线．
∵GI∥BC，
∴$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$=2．
在△CAE中，有$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．
∴AB，BC，CA三边长成等差数列．
证法二：（利用面积公式），连接AG并延长交BC于点D，
连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，
则IE为内切圆I的半径，
设IE=r．
∵IG∥BC，
∴$\frac{IE}{AH}$=$\frac{IF}{AF}$=$\frac{DG}{AD}$=$\frac{1}{3}$，即AH=3r．
∵s△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）r，故$\frac{1}{2}$BC×3r=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）r，
即2BC=AB+CA．
∴AB，BC，CA三边长成等差数列．

点评 本题考查三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．