Question

设函数f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对原式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据x的范围确定2x-

π

4

的范围，进而利用正弦函数的图形和性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+sinxcosx+1=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴1≤f（x）≤

3+ 2

2

，
∴函数的最大值为

3+ 2

2

，最小值为1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．