Question

【题目】设函数（）．

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）对函数求导，根据极值点的定义得到f′(0)＝0，即a＝0，之后检验当a=0时，x=0是否为导函数的变号零点；（2）根由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立，令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．

（I）f′（x）==，

∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．

当a=0时，f（x）=，f′（x）=，x=0是导函数的变号零点，故满足题意.

（II）由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，

可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．

令u（x）=，u′（x）=＜0，

∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，

∴a≥u（3）=﹣．

因此a的取值范围为：．