Question

18．已知双曲线C的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦点相同，且渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设F₁为双曲线的左焦点，P为双曲线C的右支上一点，且线段PF₁的中点在y轴上，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的方程，求得椭圆方程坐标，求得双曲线的焦点坐标，即c=2，由渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，则a=3λ，b=4λ，代入a²+b²=c²，求得λ=1，即可求得a和b，即可求得双曲线C的标准方程；
（2）设P（x₀，y₀），由PF₁的中点在y轴上，知x₀=5，代入即可求得y₀=±$\frac{16}{3}$，则${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨F₁F₂丨•丨y₀丨，即可求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦点为：（±5，0）…（1分）
∴双曲线的焦点为：（±5，0），
设双曲线方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴c=2…（3分）
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，
不妨设a=3λ，b=4λ（λ＞0），
∵a²+b²=c²，
∴λ=1…（5分）
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$…（7分）
（2）设P（x₀，y₀），又F₁（-5，0），
由PF₁的中点在y轴上，知x₀=5…（9分）
代入双曲线方程，得y₀=±$\frac{16}{3}$…（12分）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨F₁F₂丨•丨y₀丨=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{16}{3}$=$\frac{80}{3}$．
△PF₁F₂的面积为$\frac{80}{3}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单性质，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．