Question

14．已知圆C₁：x²-2x+y²=0，圆C₂：（x+3）²+（y-4）²=1，若过点C₁的直线l被圆C₂所截得的弦长为$\frac{6}{5}$，则直线l的方程为4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．

Answer 1

分析 过点C₁的直线l被圆C₂所截得的弦长为$\frac{6}{5}$，可得圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，故可设出直线的点斜式方程，利用圆心（-3，4）到直线的距离d=$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{5}$，求出k值，进而得到直线方程．

解答 解：圆圆C₁：x²-2x+y²=0，化为标准方程为（x-1）²+y²=1．
∵过点C₁的直线l被圆C₂所截得的弦长为$\frac{6}{5}$，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$
由题意，所求直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0
∴圆心（-3，4）到直线的距离d=$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{5}$
∴k=-$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$
∴此时直线方程为4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．
故答案为：4x+3y-4=0或3x+4y-3=0．

点评 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查计算能力，属于中档题．