Question

（10分）设a，b均为正数，且a≠b，求证：a³＋b³＞a²b＋ab².

Answer 1

略

证明：法一：(分析法)　要证a³＋b³＞a²b＋ab²成立，
只需证(a＋b)(a²－ab＋b²)＞ab(a＋b)成立．
又因为a＋b＞0，只需证a²－ab＋b²＞ab成立．
又需证a²－2ab＋b²＞0成立，即需证(a－b)²＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)²＞0显然成立，由此命题得证．
法二：(综合法)　a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)²＞0⇒a²－2ab＋b²＞0　
⇒a²－ab＋b²＞ab.(*)
而a，b均为正数，∴a＋b＞0，
由(*)式即得(a＋b)(a²－ab＋b²)＞ab(a＋b)，
∴a³＋b³＞a²b＋ab².