Question

7．设F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，过F₂在的直线交椭圆于A，B两点，AF₁⊥AB且AF₁=AB，则椭圆C的离心率为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设|AF₁|=t，则|AB|=t，|F₁B|=$\sqrt{2}$t，由椭圆定义有|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，求得|AF₂|关于t的表达式，进而利用韦达定理可求得a和c的关系

解答 解：设|AF₁|=t，则|AB|=t，|F₁B|=$\sqrt{2}$t，由椭圆定义有：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a
∴|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，
化简得（$\sqrt{2}$+2）t=4a，t=（4-2$\sqrt{2}$）a
∴|AF₂|=2a-t=（2$\sqrt{2}$-2）a
在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²
∴（$\frac{c}{a}$）²=9-6$\sqrt{2}$=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∴e=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆定义的理解和运用，属于中档题．