Question

5．已知函数f（x）=e^x（x≥0），当x＜0时，f（-x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）-ax-a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{e}$，e）
• C． （$\frac{1}{4}$，e）
• D． （$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 由题意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}{e^{-x}}（x＜0）\\{e^x}（x≥0）\end{array}\right.$，y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由f'（x）=e^x（x≥0），得切线方程为y-e^m=e^m（x-m），由此能求出结果．

解答  解：由题意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}{e^{-x}}（x＜0）\\{e^x}（x≥0）\end{array}\right.$，
∵函数g（x）=f（x）-ax-a（a＞0）有唯一零点，
∴y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．
由图可得a₁＜a＜a₂，
由题意得，${a_1}=\frac{1}{4}$，
∵f'（x）=e^x（x≥0），设切点横坐标为m，
∴切线斜率k=f'（m）=e^m=a₂，
切线方程为y-e^m=e^m（x-m），且过点（-1，0）
解得m=0，∴${a_2}={e^0}=1$，
∴$\frac{1}{4}＜a＜1$．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．