Question

10．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，E，G，H分别是BC，PC，AD的中点．
（1）求证：PH∥平面GED；
（2）求二面角G-ED-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接EH，CH，CH交ED于点F，连接FG．利用平行四边形的性质可得BH$\underset{∥}{=}$EC，于是四边形CDHE是平行四边形，可得点F是对角线CH的中点，利用三角形中位线定理可得：FG∥PH．利用线面平行的判定定理可得：PH∥平面GED．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出二面角G-ED-A的余弦值．

解答 （1）证明：连接EH，CH，CH交ED于点F，连接FG．
∵E，H分别是平行四边形ABCD的对边AB，BC的中点，∴BH$\underset{∥}{=}$EC，
∴四边形CDHE是平行四边形，
∴点F是对角线CH的中点，
又G是PC的中点，∴FG∥PH．
而PH?平面GED，FG?平面GED，
∴PH∥平面GED．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，0，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），E$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，
G$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．$\overrightarrow{DE}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{GE}$=$（\frac{\sqrt{3}}{4}，-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
设平面GED的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$．
取x=3，则y=$\sqrt{3}$，z=1．
∴$\overrightarrow{m}$=$（3，\sqrt{3}，1）$．
取平面AED的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角G-ED-A的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了空间平行与垂直的位置关系、法向量的夹角求二面角的平面角、平行四边形的性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．