Question

13．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面 ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求平面 EBC与平面ABCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取EC中点N，连结MN，BN，推导出四边形ABNM为平行四边形，从而BN∥AM，由此能证明AM∥平面BEC．
（2）推导出ED⊥AD，ED⊥BC，从而BC⊥平面BDE，进而∠EBD是平面EBC与平面ABCD夹角的平面角，由此能求出平面 EBC与平面ABCD夹角的余弦值．

解答 证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}CD$，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴MN∥AB，且MN=AB，
∴四边形ABNM为平行四边形，∴BN∥AM，
又BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC．
解：（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又平面ADEF与平面ABCD垂直且交线为AD，
由面面垂直的性质定理，得ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}CD=1$，∴BC=$\sqrt{2}$，
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD，又ED⊥BC，∴BC⊥平面BDE，
∴∠EBD是平面EBC与平面ABCD夹角的平面角，
在直角DEB中，tan$∠EBD=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos$∠EBD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．