Question

7．已知函数f（x）=|x-3|+|2x+t|，t∈R．
（1）当t=1时，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在实数a满足f（a）+|a-3|＜2，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当t=1时，根据绝对值不等式的解法，讨论x的取值范围即可解不等式f（x）≥5；
（2）根据绝对值不等式的性质将不等式转化为[f（a）+|a-3|]_min＜2成立，结合不等式的性质进行求解即可．

解答 解：（1）当t=1时，f（x）=|x-3|+|2x+1|，
由f（x）≥5得|x-3|+|2x+1|≥5，
当x≥3时，不等式等价为x-3+2x+1≥5，即3x≥7，得x≥$\frac{7}{3}$，此时x≥3，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜3时，不等式等价为-（x-3）+2x+1≥5，即x≥1，此时1≤x＜3，
当x＜-$\frac{1}{2}$时，不等式等价为3-x-2x-1≥5，解集x≤-1，得x≤-1，
综上此时x≥1，或x≤-1，即不等式的解集为（-∞，-1]∪[1，+∞）
（2）f（a）+|a-3|=2|a-3|+|2a+t|≥|2a+t-（2a-6）|=|t+6|，
则命题f（a）+|a-3|＜2，等价为[f（a）+|a-3|]_min＜2，
即|t+6|＜2，
则-2＜t+6＜2，即-8＜t＜-4，
即t的取值范围是（-8，-4）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法和应用，注意要讨论x的取值范围，转化为分段函数形式进行求解．