Question

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为PD、AC的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面MND；
（2）若AB=2AP，求二面角A-MN-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DN⊥AC，PA⊥DN，从而DN⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面MND．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-MN-D的正弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
M、N分别为PD、AC的中点，DN?平面ABCD，
∴DN⊥AC，PA⊥DN，
又AC∩PA=A，
∴DN⊥平面PAC，
∵DN?平面MND，
∴平面PAC⊥平面MND．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2AP=1，则A（0，0，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{MA}$=（0，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MD}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
设平面AMN的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MA}=-y-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
设平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MD}=b-\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=a-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
设二面角A-MN-D的平面角为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$，sin$θ=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴二面角A-MN-D的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．