Question

8．已知函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R．
（1）求f（${\frac{π}{4}}$）的值；
（2）设α∈（0，$\frac{π}{2}}$），β∈（${\frac{π}{2}$，π），f（${\frac{2π}{3}$-$\frac{α}{2}}$）=$\frac{9}{5}$，f（${\frac{β}{2}$+$\frac{5π}{12}}$）=-$\frac{36}{13}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，计算f（${\frac{π}{4}}$）的值即可；
（2）化简f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{α}{2}$）求出sinα的值，化简f（$\frac{β}{2}$+$\frac{5π}{12}$）求出cosβ的值，再根据α、β的取值范围求出cosα、sinβ的值，从而计算cos（α+β）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R；
∴f（${\frac{π}{4}}$）=3sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）
=3sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）
=3cos$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{2}$；
（2）f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{α}{2}$）=3sin[2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{α}{2}$）-$\frac{π}{3}$]
=3sin（π-α）
=3sinα=$\frac{9}{5}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$；
又f（$\frac{β}{2}$+$\frac{5π}{12}$）=3sin[2（$\frac{β}{2}$+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]
=3sin（β+$\frac{π}{2}$）
=3cosβ=-$\frac{36}{13}$，
∴cosβ=-$\frac{12}{13}$；
又α∈（0，$\frac{π}{2}}$），β∈（${\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=$\sqrt{1{-（\frac{3}{5}）}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
sinβ=$\sqrt{1{-cos}^{2}β}$=$\sqrt{1{-（-\frac{12}{13}）}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）-$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$
=-$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．