Question

16．若函数f（x）=x³+ax²+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-6，0）
• B． $（{-6，-\sqrt{6}}）$
• C． （-3.5，0）
• D． （-3.5，$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 把要求的问题转化为其导数在区间[0，2]内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可．

解答 解：由函数f（x）=x³+ax²+2x，得f′（x）=3x²+2ax+2．
∵函数f（x）=x³-ax²+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，
∴f′（x）=0在[0，2]上应有两个不同实数根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2＞0}\\{f′（2）=14+4a＞0}\\{0＜-\frac{a}{3}＜2}\\{f′（-\frac{a}{3}）＜0}\end{array}\right.$，解得-3.5＜a＜$\sqrt{6}$．
∴实数a的取值范围是-3.5＜a＜$\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 熟练掌握函数的导数及二次函数的性质是解题的关键．