Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点A（2，0）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（1，0）与椭圆交于B、C（不与A重合）两点，
（i）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{13}}{4}$，求直线l的方程；
（ii）若AB与AC的斜率之和为3，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2，b²=a²-c²，联立解出即可得出．
（II）（i）设直线l的方程为：my=x-1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立可得：（m²+3）y²+2my-3=0，|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$．点A到直线l的距离d．可得△ABC的面积=$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{1}{2}$d|MN|，化简解出即可得出．
（ii）由于k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=3，利用根与系数的关系化简解出即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2，b²=a²-c²，
联立解得a=2，c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（II）（i）设直线l的方程为：my=x-1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：（m²+3）y²+2my-3=0，
△＞0，∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-3}{3+{m}^{2}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（9+4{m}^{2}）}}{3+{m}^{2}}$．
点A到直线l的距离d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴△ABC的面积=$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{1}{2}$d|MN|=$\frac{\sqrt{9+4{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，化为：13m⁴+14m²-27=0，解得m²=1，∴m=±1．
∴直线l的方程为：x±y-1=0．
（ii）∵k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=3，
∴y₁（my₂-1）+y₂（my₁-1）=3（my₁-1）（my₂-1），
化为：（3m²-2m）y₁y₂+（1-3m）（y₁+y₂）+3=0．
∴$\frac{-3（3{m}^{2}-2m）}{3+{m}^{2}}$-$\frac{2m（1-3m）}{3+{m}^{2}}$+3=0，
化为：4m+9=0，
解得m=-$\frac{9}{4}$．
∴直线l的方程为：4x+9y-4=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．