Question

15．已知圆M：x²+（y-4）²=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为$2\sqrt{3}$时，求点P的坐标；
（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=$\sqrt{（0-2b）^{2}+（4-b）^{2}}=4$，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；
（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，$\frac{b+4}{2}$），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；
（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长$AB=4\sqrt{1-\frac{4}{5（b-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{64}{5}}}$，显然可看出b=$\frac{4}{5}$时，AB取最小值，并求出该最小值．

解答 解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），
∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，
∴$|MP|=\sqrt{{{（0-2b）}^2}+{{（4-b）}^2}}=\sqrt{A{M^2}+A{P^2}}=4$，解得$b=0，b=\frac{8}{5}$，
∴P（0，0）或$P（\frac{16}{5}，\frac{8}{5}）$．
（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
其方程为${（x-b）^2}+{（y-\frac{b+4}{2}）^2}=\frac{{4{b^2}+{{（b-4）}^2}}}{4}$，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}}\right.$，
∴圆过定点（0，4），$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$．
（3）因为圆N方程为${（x-b）^2}+{（y-\frac{b+4}{2}）^2}=\frac{{4{b^2}+{{（b-4）}^2}}}{4}$，
即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0，
圆M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0，
②-①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b-4）y+12-4b=0，
点M到直线AB的距离$d=\frac{4}{{\sqrt{5{b^2}-8b+16}}}$，
相交弦长即：$AB=2\sqrt{4-{d^2}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{5{b^2}-8b+16}}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{5{{（b-\frac{4}{5}）}^2}+\frac{64}{5}}}}$，
当$b=\frac{4}{5}$时，AB有最小值$\sqrt{11}$．

点评 考查圆的标准方程和一般方程的形式，圆心和切点的连线垂直于切线，以及直径所对圆周角为直角，以及两圆的相交弦所在直线方程的求法，配方求二次函数最值的方法，直角三角形边的关系．