Question

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ） 若函数f（x）存在不大于0的最小值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x=1是函数f（x）的极小值点．
（i）若函数f（x）与函数g（x）的图象分别在直线y=kx的两侧，求k的取值范围；
（ii） 若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）是f（x）图象上的两点，且存在实x₀∈（0，+∞）
使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）先求出 f/(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0，讨论当a≤0，a＞0时的情况，从而求出a的范围．
（II）设x=1是函数f（x）的极小值点，由（I）知：f（x）_极小值=f（a），从而a=1．
（i）设直线y=kx与函数f（x）的图象相切于点（x₁，y₁），设直线y=kx与函数g（x）的图象相切于点（x₂，y₂），得方程组求出k的值，再根据函数的图象进而求出k的范围．
（ii）求出f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，得

1

x0

=

lnx2-lnx1

x2-x1

；由

1

x0

-

1

x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x1

=

x1(ln x2 x1 - x2 x1 +1)

(x2-x1)x1

记

x2

x1

=t，h（t）=lnt-t+1，t＞1，得h（t）＜h（1）=0，进而x₁＜x₀；从而问题得解．

解答： 解：（I）∵f/(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0；                           
当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）不存在最小值；
当a＞0时，
由f′（x）≤0，得0＜x≤a；
由f′（x）＞0，得x＞a；
∴函数f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴当x=a时，[f（x）]_min=a-alna；                       
由a-alna≤0，得a≥e；
∴实数a的取值范围为[e，+∞）．
（II）∵设x=1是函数f（x）的极小值点，
由（I）知：f（x）_极小值=f（a），
∴a=1．
（i）设直线y=kx与函数f（x）的图象相切于点（x₁，y₁），
则

k=1- 1 x1 y1=x1-lnx1 y1=kx1

解得k=1-

1

e

；                            
设直线y=kx与函数g（x）的图象相切于点（x₂，y₂），
∵g/(x)=

1-lnx

x2

，
则

k= 1-lnx2 x22 y2= lnx2 x2 y2=kx2

解得k=

1

2e

；
∵函数f（x）与函数g（x）的图象分别在直线y=kx的两侧（如图示），
，
∴k的取值范围为(1-

1

e

，

1

2e

)．
（ii）∵f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，
∴1-

1

x0

=

(x2-lnx2)-(x1-lnx1)

x2-x1

，
∴

1

x0

=

lnx2-lnx1

x2-x1

；
∵

1

x0

-

1

x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x1

=

x1(ln x2 x1 - x2 x1 +1)

(x2-x1)x1

又∵0＜x₁＜x₂，
∴（x₂-x₁）x₁＞0；
记

x2

x1

=t，h（t）=lnt-t+1，t＞1，
∵h/(t)=

1

t

-1＜0，
∴h（t）在（1，+∞）递减，
∴h（t）＜h（1）=0，
即

1

x0

-

1

x1

＜0⇒

1

x0

＜

1

x1

，
∴x₁＜x₀；
同理∴x₀＜x₂，
∴x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等．