【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,其左、右焦点为F1、F2 , 点P是坐标平面内一点,且|OP|=
,
=
,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过点S(0,﹣ )的动直线l交椭圆于A、B两点,是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设P(x0,y0),
∵|OP|= ,∴
=
,①
又
=
,∴(﹣c﹣x0,﹣y0)(c﹣x0,﹣y0)=
,
即 ,②
①代入②得:c=1.又e= ,∴a=
,b=1,
故所求椭圆方程为 =1
(2)解:假设存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点.
当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为:x2+y2=1,…③
当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为: ,…④
由③,④知定点M(0,1).
下证:以AB为直径的圆恒过定点M(0,1).
设直线l:y=kx﹣ ,代入
=1,有(2k2+1)x2﹣
=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,
.
则 ,
=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)=
=(1+k2)x1x2﹣ +
=(1+k2) ﹣
+
=0,
∴在y轴上存在定点M(0,1),使以AB为直径的圆恒过M(0,1)这个定点
【解析】(1)设P(x0,y0),由|OP|= ,
=
,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆方程.(2)假设存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点.当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为:x2+y2=1,当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为:
,从而求出定点M(0,1). 再证明以AB为直径的圆恒过定点M(0,1).由此得到在y轴上存在定点M(0,1),使以AB为直径的圆恒过M(0,1)这个定点.
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么( ﹣
)
=;若E是AB的中点,P是△ABC(包括边界)内任一点.则
的取值范围是
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【题目】已知函数f(x)= sin xcos x+cos2x+a;则f(x)的最小正周期为 , 若f(x)在区间[﹣
,
]上的最大值与最小值的和为
,则实数a的值为 .
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【题目】对于数列,设
表示数列
前
项
,
,
,
中的最大项.数列
满足:
.
()若
,求
的前
项和.
()设数列
为等差数列,证明:
或者
(
为常数),
,
,
,
.
()设数列
为等差数列,公差为
,且
.
记,
求证:数列是等差数列.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为S,a2+a6=20,S5=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3 , b3=a7.若b6=ak , 求k的值.
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