已知a＞b＞c.求证:ab2+bc2+ca2＜a2b+b2c+c2a．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知a＞b＞c，求证：ab²+bc²+ca²＜a²b+b²c+c²a．

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：作差a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²后重新分组整理，可得a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²=（b-c）（a-b）（a-c），利用已知a＞b＞c，易知（b-c）（a-b）（a-c）＞0，从而可证结论成立．

解答： 证明：a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²
=a²（b-c）+a（c²-b²）+bc（b-c）
=a²（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a²-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因为a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca²；
所以ab²+bc²+ca²＜a²b+b²c+c²a．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，考查转化思想与变形化积的能力，属于难题．

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