Question

15．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2$\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=$\frac{9}{2}$
（Ⅰ）求该抛物线的方程
（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得$\frac{5}{4}$p+p=$\frac{9}{2}$，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）求得交点A，B的坐标，由向量的加减运算，可得C的坐标，代入抛物线的方程，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
则直线AB的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线的方程，
可得4x²-5px+p²=0，可得x₁+x₂=$\frac{5}{4}$p，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p，
由已知，得$\frac{5}{4}$p+p=$\frac{9}{2}$，
解得p=2，
即抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）由p=2可得2x²-5x+2=0，
可得x=2或$\frac{1}{2}$，
即有A（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），B（2，2$\sqrt{2}$），
设$\overrightarrow{OC}$=（x₃，y₃）=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）+λ（2，2$\sqrt{2}$）
=（$\frac{1}{2}$+2λ，-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$λ），
即有x₃=$\frac{1}{2}$+2λ，y₃=-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$λ，
由y₃²=4x₃，可得[$\sqrt{2}$（2λ-1）]²=4（$\frac{1}{2}$+2λ），
即（2λ-1）²=1+4λ，
解得λ=0或2．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．