Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n²+n，数列{bn}满足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）^a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足c_n=a_n（b_n+1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=S₁；n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}的通项公式；再由指数的运算性质，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）求得c_n=a_n（b_n+1）=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=2；
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=2n，对n=1也符合，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
b_n+1=（$\sqrt{2}$）^a_n，即有b_n+1=2ⁿ，
可得b_n=2ⁿ-1；
（2）c_n=a_n（b_n+1）=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
数列{a_n}的前n项和T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
两式相减可得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²，
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化简可得，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查指数的运算性质，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．