Question

（2012•鹰潭模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求f（x）的导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负，从而可求f（x）的单调区间；
（2）对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于f（x）_max＜g（x）_max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=a+

1

x

，x＞0…（2分）
当a≥0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），…（4分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x=-

1

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

所以函数f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），函数f（x）的单调减区间为(-

1

a

，+∞)…（6分）
（2）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max…（8分）
因为g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合题意．）     …（10分）
当a＜0时，f（x）在(0，-

1

a

)上单调递增，在(-

1

a

，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1-ln(-a)，…（11分）
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．…（12分）

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用导数确定函数的单调性