Question

【题目】已知函数

（1）若，，若的单调区间；

（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.

（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2） .

【解析】

（1）将，代入函数解析式，求得并令，即可由导函数的符号判断单调区间.

（2）将代入函数解析式，求得.结合定义域及二次函数性质可知的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数，并求得可证明的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得的值.

（1）将，代入函数解析式可得，定义域为，

则

令，解得，（舍），

所以当时，；

当时，；

故的单调递减区间为；的单调递增区间为.

（2）将代入函数解析式可得，

则

因为，且对于来说，，

所以有两个不等式实数根，

且，

所以两根异号，不妨设则，

则由定义域为可得在内递减，在内递增，

因为，

要存在唯一的零点，且，则，

所以，化简可得.

令，

则

所以在时单调递减，

由题可知，，

而，

所以

即