[题目]已知点A.B关于坐标原点O对称..以M为圆心的圆过A.B两点.且与直线相切.若存在定点P.使得当A运动时.为定值.则点P的坐标为( )A.B.C.D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知点A，B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．

解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，

设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，

∵⊙M与直线2y﹣1＝0相切，∴|MA|＝|y|，

∴|y|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2，

整理得x2＝﹣y，

∴M的轨迹是以F（0，）为焦点，y为准线的抛物线，

∴|MA|﹣|MP|＝|y|﹣|MP|

＝|y|﹣|MP||MF|﹣|MP|，

∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0，），

∴存在定点P（0，）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．

故选：C.

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