Question

7．已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x （a∈R）
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）当x∈[a²，a]时，求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，由此利用导数性质能求出a．
（2）求出0＜a＜1，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）在[a²，a]上的最大值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x （a∈R），所以函数的定义域为（0，+∞），
所以${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，即f′（1）=-（2-1）（a+1）=0，解得a=-1，（3分）
当a=-1 时，在（$\frac{1}{2}$，1）内，f′（x）＜0，在（1，+∞）内，f′（x）＞0，
所以f（x）在x=1处取得极小值，符合题意．
所以a=-1．（5分）
（2）因为${a}^{2}，所以0＜a＜1，（7分）
${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2ax+（a-2）$=$\frac{-（2x-1）（ax+1）}{x}$，
 因为x∈（0，+∞），所以ax+1＞0，
所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减．（8分）
当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，f（x）在[a²，a]上单调递增，
所以f（x）_max=f（a）=lna-a³+a²-2a，（9分）
当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）在（a²，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}，a$）上单调递减，
所以f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{a}{4}$+$\frac{a-2}{2}$=$\frac{a}{4}-1-ln2$，（10分）
当$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$时，f（x）在[a²，a]上单调递减，
所以$f（x）_{max}=f（{a}_{2}）=2lna-{{a}_{\;}}^{5}+{{a}^{3}}_{\;}-2{{a}^{2}}_{\;}$，（11分）
综上所述，当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）在[a²，a]上的最大值是$\frac{a}{4}-1-ln2$；
当$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$时，f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．（12分）

点评 本题考查实数值的求法和函数在闭区间的上的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．