Question

18．已知点F（-3，0）在以原点为圆心的圆O内，且过F的最短的弦长为8，
（1）求圆O的方程；
（2）过F任作一条与两坐标标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过F且垂直与x轴的弦长最短，求出圆O的半径r，即可求出圆O的方程．
（2）弦AB过F且与两坐标轴都不垂直，可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0）．并将它代入圆方程x²+y²=5，设出A，B利用韦达定理，设M（m，0），利用k_AM+k_BM=0．求解即可．

解答 解：（1）由题意知：过F且垂直与x轴的弦长最短，设圆O的半径为r，则r=5，∴圆O的方程为：x²+y²=25．…（6分）
（2）弦AB过F且与两坐标轴都不垂直，可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0）．
并将它代入圆方程x²+y²=5，
得：（ky-3）²+y²=25，即：（k²+1）y²-6ky-16=0
设$A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}），则{y_1}+{y_2}=\frac{6k}{{{k^2}+1}}，{y_1}{y_2}=\frac{-16}{{{k^2}+1}}$，
设M（m，0），∵∠AMB被x轴平分，∴k_AM+k_BM=0．
即$\frac{y_1}{{{x_1}-m}}+\frac{y_2}{{{x_2}-m}}=0，{y_1}（{x_2}-m）+{y_2}（{x_1}-m）=0$．
即y₁（ky₂-3）+y₂（ky₁-3）-（y₁-y₂）m=0，∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+3）=0．于是：$2k×\frac{-16}{{{k^2}+1}}-\frac{6k}{{{k^2}+1}}×（m+3）=0$．∵k≠0，有16+3（m+3）=0，即$m=-\frac{25}{3}$，∴$M（-\frac{25}{3}，0）$．
（直线假设用点斜式也可）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．