Question

3．给出以下四个结论：
①函数$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}$的对称中心是（-1，2）；
②在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充分不必要条件；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件；
④若将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是$\frac{π}{12}$．
其中正确的结论是：①③④（写出所有的正确结论的序号）

Answer 1

分析 求出函数的对称中心，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②③；求出满足条件的φ的最小值，可判断④．

解答 解：①函数$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{-3}{x+1}$+2，其图象由y=$\frac{-3}{x}$的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，故对称中心是（-1，2），故正确；
②在△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”?“sin²A＞sin²B”?“1-2sin²A＜1-2sin²B”?“cos2A＜cos2B”
即“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充要条件，故错误；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”?“sinBcosA=sinAcosB”?“sin（A-B）=0”?“A=B”?“△ABC为等角三角形”，
故“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故正确；
④若将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，
sin（-2φ-$\frac{π}{3}$）=±1，即-2φ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，解得：φ=$-\frac{5π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
当k=1时，φ的最小正值是$\frac{π}{12}$．故正确；
故其中正确的结论是：①③④，
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，充要条件，函数图象的平移变换，难度中档．