Question

16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程$\widehat{y}$=bx+a，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
求线性回归方程系数公式b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）计算平均数，利用$\stackrel{∧}{b}$=-20，$\stackrel{∧}{a}$=80+20×8.5=250，即可求得回归直线方程；
（2）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．

解答 解：（1）$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，
∴$\stackrel{∧}{b}$=-20，$\stackrel{∧}{a}$=80+20×8.5=250，
∴回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（2）设工厂获得的利润为L元，则L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20（x-8.25）²+361.25，
∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．

点评 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．