Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD丄底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD，BC=$\frac{1}{2}$AD
（I）求证：平面PQB⊥平面PAD
（Ⅱ）若三棱锥A-BMQ的体积是四棱锥P-ABCD体积的$\frac{1}{6}$，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer 1

分析 （I）由AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，CD∥BQ．可得：QB⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，可得BQ⊥平面PAD．即可证明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，可得PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，可得PQ⊥平面ABCD．设PQ=h，梯形ABCD的面积为S，则S_△ABQ=$\frac{1}{3}$S.${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$，利用V_A-BQM=V_M-ABQ，即可得出．

解答 （I）证明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．
设PQ=h，梯形ABCD的面积为S，则S_△ABQ=$\frac{1}{3}$S．
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$，
又设M到平面ABC的距离为h′，则V_A-BQM=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}S{h}^{′}$，
根据题意可得：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}S{h}^{′}$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{3}Sh$，
${h}^{′}=\frac{1}{2}$h，故$\frac{MC}{PC}$=$\frac{{h}^{′}}{h}$=$\frac{1}{2}$，∴M为PC的中点，∴t=1．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．