Question

已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是 上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

Answer 1

解析: （Ⅰ） 因为焦距为，所以．因为椭圆过点（，），

所以．故，

所以椭圆的方程为

（Ⅱ） 由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得,

当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()，

 ，

由  得，则，

故．                  

此时，直线斜率为， 的直线方程为．

即．

联立 消去 ，整理得．

设 ，

所以，．

于是

 

．

由于在椭圆的内部，故

令，，则． 

又，所以．

综上，的取值范围为．