Question

已知f（x）是定义在R上周期4π的偶函数，当x∈[0，π]时，f（x）=cosx，当x∈（π，2π]时，y=f（x）的图象是斜率为

2

π

且在y轴上的截距为-2的直线在相应区间上的部分．
（1）求出函数y=f（x）的表达式，
（2）写出函数y=f（x）的单调区间．
（3）求f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2013π）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）是定义在R上周期4π的偶函数，求解解析式；（2）则结合余弦函数图象进行求解；（3）则利用函数的周期性进行求值．

解答：
解：（1）设x∈[-2π，-π），
则-x∈（π，2π]f（x）是偶函数，
∵x∈（π，2π]时，y=f（x）=

2

π

x-2，
∴f（x）=f（-x）=-

2

π

x-2．
设x∈[-π，0]则-x∈[0，π]，f（x）=f（-x）=cos（-x）=cosx
∴f(x)=

- 2 π x-2，x∈[-2π，-π) cosx，x∈[-π，π] 2 π x-2，x∈(π，2π]

，

已知f(x)的周期为4π，设x∈[-2π+4kπ，-π+4kπ)，则x-4kπ∈[-2π，π) f(x)=f(x-4kπ)=- 2 π (x-4kπ)-2=- 2 π x+8k-2，

设x∈[-π+4kπ，π+4kπ]，则x-4kπ∈[-π，π] f(x)=f(x-4kπ)=cos(x-4kπ)=cosx，

设x∈(π+4kπ，2π+4kπ]，则x-4kπ∈(π，2π] f(x)=f(x-4kπ)= 2 π (x-4kπ)-2= 2 π x-8k-2，

∴f(x)=

- 2 π x+8k-2，x∈[-2π+4kπ，-π+4kπ) cosx，x∈[-π+4kπ，π+4kπ] 2 π x-8k-2，x∈(π+4kπ，2π+4kπ]

，
（2）

(-π+4kπ，4kπ]，(π+4kπ，2π+4kπ]，递增区间； [-2π+4kπ，-π+4kπ)，(4kπ，π+4kπ]，递减区间；

（3）

f(π)+f(2π)+f(3π)+f(4π)=-1+2+-1+1=1，T=4 ∴f(π)+f(2π)+f(3π)+…+f(2013π)=503×1-1=502

．

点评：本题综合考查三角函数的图象与性质、函数解析式求解等知识，考查比较综合．属于难题．