Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形
（1）求椭圆的离心率；
（2）若焦点到同侧顶点的距离为

3

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题设条件能推导出a=2c，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）且a=2c，a-c=

3

，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，
∴a=2c，
∴离心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）由（1）知可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
且a=2c，
∵焦点到同侧顶点的距离为

3

，
∴a-c=

3

，解得a=2

3

，c=

3

，b²=（2

3

）²-（

3

）²=9，
∴椭圆方程为：

x2

12

+

y2

9

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率和标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．