Question

【题目】如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1， 是的中点．

（Ⅰ）求证： ∥平面；

（Ⅱ）求与平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结交于点O，连结OD，则OD是的一条中位线，则

∥OD ，即可证明 ∥平面

（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，求出及平面ADC1的一个法向量一个法向量，即可求出与平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）假设点E在线段上，使，不妨设（），通过 （1） （2）求得不相等，故这样的点E不存在..

试题解析：（Ⅰ）连结交于点O，连结OD

交于点O O是的中点

又 是的中点 OD是的一条中位线

∥OD 又

∥平面

（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0， ，0），C（，0，0）

在平面ADC1中， （0， ，0），

设为平面ADC1的一个法向量，则有，即

不妨令，则， ，所以

又，则

设与平面所成角为，则==

与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）假设点E在线段上，使

不妨设（）

，

在平面ADC1中， （0， ，0），

（1） （2）

由（1）可解得 又（2）可解得,（1）与（2）矛盾，所以这样的点E不存在.