Question

7．P是双曲线$\frac{x^2}{4}$-y²=1右支（在第一象限内）上的任意一点，A₁，A₂分别是左右顶点，O是坐标原点，直线PA₁，PO，PA₂的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则斜率之积k₁k₂k₃的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{8}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 设点P（x，y），（x＞0，y＞0），利用斜率公式化简，即可得出结论．

解答 解：设点P（x，y），（x＞0，y＞0），则
∵双曲线$\frac{x^2}{4}$-y²=1中，A₁（-2，0），A₂（2，0），直线PA₁，PO，PA₂的斜率分别为k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂k₃=$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x}•\frac{y}{x-2}=\frac{y^3}{{x（{x^2}-4）}}=\frac{y^3}{{x•4{y^2}}}=\frac{1}{4}•\frac{y}{x}＜\frac{1}{4}•\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．