Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由题已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3及其夹角，可利用$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，转化为向量的乘法解决；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影，则由向量乘法$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$的投影为|$\overrightarrow{a}$|cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，则可利用|$\overrightarrow{a}$|cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$变形．可求出投影．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°+4×9}$=$\sqrt{40+4×2×3×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$；
（2）∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°+18$=$2×3×（-\frac{1}{2}）+18=15$，
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{15}{3}=5$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的概念，是中档题．