【题目】如图,在三棱柱中,平面平面,四边形为菱形,点是棱上不同于, 的点,平面与棱交于点, , , .
(Ⅰ)求证: ∥平面;
(Ⅱ)求证: 平面;
(Ⅲ)若二面角为,求的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用面面平行的性质定理得到线线平行,再利用线面平行的判定定理进行求解;(Ⅱ)先利用面面垂直的性质定理和菱形的对角线相互垂直得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理进行证明;(Ⅲ)利用空间向量进行求解.
试题解析:(Ⅰ)因为在三棱柱中,平面平面,
平面平面,
平面平面,
所以 .
又因为平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为,所以,
又因为平面平面,
所以平面.
所以 .
因为四边形为菱形,所以 .
所以平面.
(Ⅲ)取线段中点,因为菱形中, ,
所以 .
又因为 ,所以 .
又因为平面.
如图,以为原点,建立空间直角坐标系,
则
所以, , , .
设,( )
,
设平面的法向量为,
则, 即,
令,则, .
所以.
由(Ⅱ)知, 是平面的一个法向量.则
因为二面角为,
.
解得,或(舍).
所以,即的长为.
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【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,是否存在整数,使不等式恒成立?若存在,求整数的值;若不存在,则说明理由;
(3)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围.
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【题目】学校游园活动有这样一个游戏:甲箱子里装有3个白球,2个黑球,乙箱子里装有1个白球,2个黑球,这些球除了颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).
(1)求在1次游戏中:
①摸出3个白球的概率.
②获奖的概率.
(2)求在3次游戏中获奖次数X的分布列.(用数字作答)
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【题目】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣1,1),B(7,﹣1),C(﹣2,5),AB边上的中线所在直线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)若点A关于直线l的对称点为D,求△BCD的面积.
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【题目】2016年9月,第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行,在会展期间某展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价x(元)与销量t(万元)之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量呈反比,比例系数为20.(注:每件产品利润=售价﹣供货价格)
(1)求售价15元时的销量及此时的供货价格;
(2)当销售价格为多少时总利润最大,并求出最大利润.
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【题目】某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:)进行测量,得出这批钢管的直径服从正态分布.
(Ⅰ)如果钢管的直径满足为合格品,求该批钢管为合格品的概率(精确到0.01);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,现要从40根该种钢管中任意挑选3根,求次品数的分布列和数学期望.
(参考数据:若,则;;)
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【题目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式 ;
(3)求函数g(x)=|logax﹣1|的单调区间.
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