【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
过坐标原点
且圆心在曲线
上.
(1)若圆分别与
轴、
轴交于点
、
(不同于原点
),求证:
的面积为定值;
(2)设直线与圆
交于不同的两点
,且
,求圆
的方程;
(3)设直线与(2)中所求圆
交于点
、
,
为直线
上的动点,直线
,
与圆
的另一个交点分别为
,
,且
,
在直线
异侧,求证:直线
过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1)证明过程见解析;(2) ;(3)直线
过定点
.
【解析】(1)由题意可设圆M的方程为,
即.令
,得
;令
,得
.
(定值).
(2)由,知
.所以
,解得
.
当时,圆心M
到直线
的距离
小于半径,符合题意;
当时,圆心M
到直线
的距离
大于半径,不符合题意.
所以,所求圆M的方程为.
(3)设,
,
,又知
,
,
所以,
.
显然,设
,则
.
从而直线PE方程为:,与圆M的方程
联立,消去y,可得:
,所以,
,即
;
同理直线PF方程为:,与圆M的方程
联立,消去y,可得:
,所以,
,即
.
所以
;
.
消去参数m整理得. ①
设直线的方程为
,代入
,
整理得.
所以,
.
代入①式,并整理得,
即,解得
或
.
当时,直线
的方程为
,过定点
;
当时,直线
的方程为
,过定点
第二种情况不合题意(因为在直径
的异侧),舍去.
所以,直线过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试,其中数学成绩如下表所示:
数学成绩分组 | [50,70) | [70,90) | [90,110) | [110,130) | [130,150] |
人数 | 60 | 400 | 360 | 100 |
(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层抽样的方法抽取100
名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分,求他被抽中的概率;
(Ⅱ)年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提供数据估计“数
学学困生”的人数;
(III)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】 “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响,从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中,“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示:
跟从别人闯红灯 | 从不闯红灯 | 带头闯红灯 | |
男生 | 800 | 450 | 200 |
女生 | 100 | 150 | 300 |
(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知“跟从别人闯红灯”的人抽取了45 人,求n的值;
(Ⅱ)在“带头闯红灯”的人中,将男生的200人编号为1,2,…,200;将女生的300人编号为201,202,…,500,用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的第一个人的编号为100,把抽取的4人看成一个总体,从这4人中任选取2人,求这两人均是女生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知R,函数
=
.
(1)当时,解不等式
>1;
(2)若关于的方程
+
=0的解集中恰有一个元素,求
的值;
(3)设>0,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
(
),曲线
的参数方程为
(1)写出直线及曲线
的直角坐标方程;
(2)过点平行于直线
的直线与曲线
交于
、
两点,若
,求点
轨迹的直角坐标方程.
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