Question

15．设函数f（x）=lnx-x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，lnx＜x-1＜xlnx．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）求出lnx＜x-1，设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，根据函数的单调性求出F（x）＞0，证明结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-x+1的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，
由（1）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x-1；
设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx-1=lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，
即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，则原不等式成立；

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．