Question

6．如图，圆O：x²+y²=4与坐标轴交于点A，B，C．设点M是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线CM交x轴于点D，直线BM交直线AC于点N．
（1）当D点坐标为（2$\sqrt{3}$，0）时，求弦CM的长；
（2）求证：2k_ND-k_MB是与CM斜率k无关的定值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A，B，C的坐标，得到直线CM的方程，由点到直线距离公式求出圆心到直线CM的距离，再由垂径定理求得弦CM的长；
（2）设直线CM的方程为：y=kx+2（k存在，k≠0，k≠±1），则D（$-\frac{2}{k}，0$），联立直线方程与圆的方程，求出M的坐标，的到BM的斜率，再联立AC、BM的方程，求出N的坐标，得到ND的斜率，则可证得2k_ND-k_MB是与CM斜率k无关的定值．

解答 （1）解：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
直线CM：$x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$，
圆心到直线CM的距离$d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}=\sqrt{3}$，
∴弦CM的长为$2\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}=2$；
（2）证明：设直线CM的方程为：y=kx+2（k存在，k≠0，k≠±1），则D（$-\frac{2}{k}，0$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+4kx=0，
解得：x=0或x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
将x=-$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$代入直线CM，得$y=\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
即$M（-\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，
则${k}_{BM}=\frac{k-1}{k+1}$，直线BM：$y=\frac{k-1}{k+1}（x-2）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{y=\frac{k-1}{k+1}（x-2）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2k}\\{y=2-2k}\end{array}\right.$，则N（-2k，2-2k），
得${k}_{ND}=\frac{k}{1+k}$，
∴$2{k}_{ND}-{k}_{MB}=\frac{2k}{1+k}-\frac{k-1}{k+1}=1$为定值．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．