Question

5．设${\vec e_1}，{\vec e_2}$为单位向量，非零向量$\vec b=x{\vec e_1}+y{\vec e_2}，x，y∈R$．若${\vec e_1}，{\vec e_2}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则$\frac{|x|}{{|{\vec b}|}}$的最大值等于（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：${\vec e_1}，{\vec e_2}$为单位向量，若${\vec e_1}，{\vec e_2}$的夹角为$\frac{π}{6}$，∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1•1•cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（x•\overrightarrow{{e}_{1}}+y•\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+\sqrt{3}•x•y}$，
∴$\frac{|x|}{{|{\vec b}|}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}{+y}^{2}+\sqrt{3}•x•y}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{x}^{2}{+y}^{2}+\sqrt{3}•x•y}{{x}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1{+（\frac{y}{x}）}^{2}+\sqrt{3}•\frac{y}{x}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{{（\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+\frac{1}{4}}}$≤2，当且仅当$\frac{y}{x}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，取等号，
故$\frac{|x|}{{|{\vec b}|}}$的最大值等于2，
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．