Question

20．在直角坐标系xOy上取两个定点A₁（-$\sqrt{6}$，0），A₂（$\sqrt{6}$，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=2．
（Ⅰ）求直线A₁N₁与A₂N₂交点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若$\overrightarrow{RP}$=λ$\overrightarrow{RQ}$（λ＞1），求证：$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．

Answer 1

分析 （I）由直线方程的点斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，联解并结合mn=2化简整理得方程，再由N₁、N₂不与原点重合，可得直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹C的方程；
（II）设l：x=ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t²）y²+6ty+3=0，利用分析法进行证明．

解答 （I）解：依题意知直线A₁N₁的方程为：y=$\frac{m}{\sqrt{6}}$（x+$\sqrt{6}$）…①；
直线A₂N₂的方程为：y=-$\frac{n}{\sqrt{6}}$（x-$\sqrt{6}$）…②
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①、②相乘，得y²=-$\frac{mn}{6}$（x²-6）
由mn=2整理得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1
∵N₁、N₂不与原点重合，可得点A₁，A₂不在轨迹M上，
∴轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±$\sqrt{6}$）．
（Ⅱ）证明：设l：x=ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t²）y²+6ty+3=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₁，-y₁），可得y₁+y₂=-$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$且y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$，
$\overrightarrow{RP}$=λ$\overrightarrow{RQ}$，可得（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），∴x₁-3=λ（x₂-3），y₁=λy₂，
证明$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$，只要证明（2-x₁，y₁）=λ（x₂-2，y₂），∴2-x₁=λ（x₂-2），
只要证明$\frac{{x}_{1}-3}{{x}_{2}-3}$=-$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{2}-2}$，只要证明2t²y₁y₂+t（y₁+y₂）=0，
由y₁+y₂=-$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$且y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$，代入可得2t²y₁y₂+t（y₁+y₂）=0，
∴$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．

点评 本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．