Question

【题目】如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出，从而平面平面，进而平面，，再求出，由此能证明平面．
（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将转化为，即可求解.

解：（1）∵，是的中点，

∴，

∵三棱柱中平面，

∴平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

又∵在正方形中，，分别是，的中点，

∴，

又，

∴平面.

（2）解法一（割补法）：

.

解法二（利用平行顶点轮换）：

∵，

∴，

∴

.

解法三（利用对称顶点轮换）：

连结，交于点，

∵为的中点，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

∴

.

解法四（构造法）：

连结，交于点，则为的中点，再连结.

由题意知在中，，，所以，且，

又，，所以，所以，

又，

∴面，

∴.